Dans la catégorie, j’ai pris un compas et une équerre et c’était fun, voici le partage d’une petite  recherche sur la quadrature du cercle dans la géométrie euclidienne (je vous ferai part d’ailleurs de la quadrature du cercle dans la géométrie non euclidienne hyperbolique. Le but étant d’essayer. Mon tit billet ici est de vous faire part de ma petite recherche et de démontrer (de manière très succinte) cette construction. Pour démontrer j’ai repris simplement le repère cartésien. Le but étant d’essayer de la démontrer comme au collège.

Construction

Soit un cercle W de diamètre [AB] et de centre O. On prendra la longueur OB comme unité de longueur. Soient M le milieu de [AO] et T le point de [OB] tel que OT = 2/3 OB. La perpendiculaire à [AB] en T coupe le cercle en P. Soit Q un point de W tel que BQ = PT. Les parallèles à [BQ] passant par O et T coupent [AQ] respectivement en S et R. Soit D appartenant à W tel que AD = AS et soit C le point de la tangente à W en A tel que AC = RS. Soit E le point de [BD] tel que BE = BM. La parallèle à [CD] passant par E coupe [BC] en X.

Essayons de démontrer que l’on peut construire un carré BX^2, ayant l’aire égale à celui du cercle [AB].

Démonstration

Plaçons le tout dans un repère

- le point O (0,0)

- le point A (-1,0)

- B (1,0)

- T (2/3,0) (via construction Thalès)

- M (-1/2,0)

- P (2/3, )

- Q (13/18, )

- R (47/108,)

- S (-5/36,)

- D (-41/72, )

- C (-1,)

On peut montrer que BX = BC . BM/BD donc BM = 3/2, BC^2 = , BD^2 = 113/36 d’où BX^2 = 355/113 = 3.1415929203539825 ≠ \pi

Fichier PDF 

Fichier : Geogebra

Pour compléter encore ce fabuleux monde des fractals, je vous partage une recherche de groupe. Ce fichier vous sera d’une grande utilité si vous êtes prof, et que vous voulez créer un climat de recherche dans vôtre classe. Je vous propose à la fin mes feuilles que j’ai utilisé pour mon activité, d’ailleurs tout ce que j’explique en plus ici, n’est qu’un complément sans recherche et sans grande pédagogie. Donc je vous conseil de survoler.

Le but étant de « prouver » le lien entre le triangle de Pascal et le triangle de Sierpinsky en modulo 2 mais après de « prouver » le lien qu’il y a entre le triangle de pascal et d’autres fractal qui sont des cousins du triangle de Pascal.Après à la fin de l’article je vous propose en modulo 3, Modulo 5 etc…

Triangle de Pascal

Revenons sur le triangle de pascal :

C’est une représentation des coefficients binomiaux dans un triangle. La construction du triangle est liée aux coefficients binomiaux selon la règle suivante :

Si nous traduisons cela, nous allons varier ici (n) :

si on varie de k allant de o jusque n mais n ici est égal à 0

 si on varie de k allant de o jusque n mais n ici est égal à 1

 si on varie de k allant de o jusque n mais n ici est égal à 2

Ainsi de suite , et bien grâce à cela nous pouvons créer notre triangle de pascal , c’est-à-dire que nous plaçons nos coefficients par ligne :

1

1 1

1 2 1

Mais si l’on continue et bien nous aurons ceci :

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Et ainsi de suite, … mais si nous regardons bien notre triangle nous voyons que les nombres de la ligne qui suit proviennent de l’addition des deux nombres de la ligne du dessus.

Cela veut dire que par exemple en prenant la ligne 1 6 15 20 15 6 1 je suis sûr et certain que pour la ligne 7 j’obtiendrai ceci :

Maintenant dessinons les nombres pairs …

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

On peut voir le triangle de Sierpinski qui se dessine sous les nombres mod2

Lorsque l’on dit Mod2, on entend modulo 2 et cela veut dire transformer « les nombres en base 2 (binaire)  » : 

Base 10 : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …

Base 2 :   0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 …

La base 2 permet en une seconde de voir si nous avons un nombre divisble par 2, car si un nombre se termine par 0 (en mod2), cela veut dire que celui-ci est divisible par 2. Donc notre triangle, de pascal se remplirait de 0 et de 1 et ceux-ci seront « localisé » comme dans le triangle de Sierpinski. Maintenant pourquoi ?

Triangle de Sierpinsky

Donnons des coordonnées à nos nombres dans le triangle de pascal, le nombre 1 se trouve à la coordonnée (0,0), le 2 se trouve à la coordonnée (1,1)

Triangle de PASCAL et Triangle de Sierpinski

Donc avec ce moyen nous pouvons repérer n’importe quel nombre. Pourquoi avoir choisi des coordonnées ? Et bien tout simplement que grâce à cet outil nous pourrons créer un lien entre triangle de Pascal et Sierpinsky.

Si nous reprenons le triangle de Sierpinksy sous la forme basique nous aurons ceci dans le blueprint (la deuxième étape de notre IFS) :

Où W_0 jusque W_2 sont les opérateurs de bases du triangle de Sierpinsky et le carré W_3 ne doit pas être pris en compte. Nous reviendrons sur le sens du W_3.

On peut aussi, en munissant notre quadrillé d’un repère, situer W_0 qui se trouve à la coordonnée (0,0) que nous simplifierons à 00 et W_1 (0,1) que nous simplifierons à 01 et pour finir W_2 (1,0) qui deviendra 10. La notation que nous donnons simplifiera le calcul des transformations.

Donc dès que je ferai une troisième itération, W_0 aura 3 carré à l’intérieur de lui, W_0′ W_1′ et W_2′ ainsi que W_1 et W_2.

Donc le W_1′ pourra être noter comme suit :

0100 , ce qui signifie que l’on a appliqué dans notre W_0 = 00 une transformation W_1 01, que l’on note 0100. Imaginons W_2″ qui se trouve dans W_1, alors W_2″ aura pour coordonnée de transformation 1001.

Mais revenons sur le sens de W_3, il représente le carré blanc, c’est-à-dire celui qui n’est pas pris en compte dans le triangle de Sierpinski, mais si nous faisons le lien avec le triangle de pascal. Le W_3 représente un nombre pair. Par exemple, au blueprint il représente le numéro 2, le W_0 représente 1, le W_1 représente le 1 et le W_2 également le 1.

Mais le W_3 a pour coordonnée (1,1) en nouvelle notation de transformation il sera noté 11. Donc si j’indique ceci : 101101

Cela veut dire que je suis parti du carré 01 (W_1) puis j’ai appliqué une transformation et je me suis retrouvé dans W_3″ puis j’ai encore appliqué une transformation 10 (W_2 »’). Mais puisque je suis passé par une transformation W_3, je suis sûr et certain d’être blanc. Car ce qui est blanc, enlevé, reste blanc.

Et ?

Et bien si nous reprenons notre triangle de Pascal et les coordonnées en Binaire :

Par exemple le 2 à pour coordonnée (1,1). Je sais qu’il est pair. Mais si je prends le nombre 4, il a pour coordonnée (3,1) et (1,3) en binaire (mod 2) cela revient à (11,01) et (01,11). Mais ce n’est pas parce qu’il à 3 pour coordonnée, car si nous prenons ces coordonnée (11,01) et les transformons en nouvelle notation on doit d’abord les décomposer. (11,01) deviendra 1011. Ce qui veut dire que la première transformation venait du carré W_3, puis après nous nous somme trouvé dans le W_2 ». Mais comme le W_3 est blanc (ou pair) nous pouvons dire que celui-ci est pair.

Maintenant prenons un autre exemple, partons des coordonnées : (5,6) cela deviendra en mod2 (101,110) ce qui deviendra en nouvelle notation de transformations : 110110 donc c’est bien à la dernière transformation que nous obtenons une transformation W_3 … ce qui veut dire qu’il est pair. Donc nous somme sûr que la coordonnée (5,6) tombe sur un nombre pair. Nous tombons sur le nombre en base 10, 210 qui est bien un nombre pair.

Donc nous pouvons dire, que oui le triangle de pascal en mod2 ressemble et est équivalent au triangle de Sierpinski.

Triangle de Pascal en Mod3, Mod 5, …, mod k ?

De la même manière, nous allons maintenant dessiné les mod3 du triangle de pascal et découvrir que eux aussi sont rangé d’une manière fractal. Puis nous referons le même procédé, c’est-à-dire un carré ayant 9 transformation W_i mais cette fois-ci nous regarderons les carrées de coordonnées (2,1) ; (1,2) et (2,2) c’est à dire que dès que nous mettrons les coordonnées de notre triangle de pascal en mod3, et dès que nous aurons par exemple ceci :

La coordonnée (8,2) en mod3 (21,02) et en nouvelle transformation 20 12 donc nous obtenons un 12, ce qui veut dire que nous tombons sur un nombre divisible par 3. Nous tombons en réalité sur 36, donc oui cela fonctionne toujours en reprenant un triangle de sierpinski modifé, d’ailleurs nous n’obtenons pas un triangle de sierpinsky, mais un autre fractal :

Voici différents document pour réalisé les fractals en mod5, 7 etc …

Fichier texte : Mod 3

Fichier texte : Mod 5 

Fichier texte : Mod 7

Pour les détenteurs de Mathematica, voici un petit fichier pour le voir sous la forme dynamique

Mathematica – Triangle de Pascal Modulo K

Ainsi que l’activité proposé aux élèves :

Activité en Pdf

Feuille élève en pdf 

Pour le programme Java, il se trouve toujours à la page suivant : Fractals – Système de fonctions itérées IFS

Alors vous êtes sûrement dans vos révisions et vous rechercher peut-être des exercices supplémentaires sur les intégrales.

J’ai composé ici quelques pages sur différentes intégrales :

• Intégrale immédiate
• Intégrale par substitution
• Intégrale par partie
• Intégrale rationnelle
• Intégrale de fonctions trigonométriques

A chaque fois il y a la réponse à côté, pour vous auto-corrigé.

Good shit

Document PDF Exercice Intégrales Rappel

Intro ?

Cela va faire depuis un peu plus d’un an que je suis tombé dans ce monde non-euclidien assez impressionnant, les fractals (ou au féminin fractales). L’idée qui se cache derrière les fractals est vraiment l’idée de fonction itérées. Maintenant vous aurez différentes fractals, suivant la manières dont vous les classer. Mais ce n’est pas le but de ce petit article, j’y reviendrai une prochaine fois.

Là je voulais vous partager une petite activité que nous avons réalisé lors de notre cours de séminaire. Un cours sur la réalisation des fractals. De manière grossière, nous pourrions définir ces fonctions itérées par des ensembles de différentes fonctions contractantes. Cette collection de fonctions donneront lieu à un attracteur appelé l’opérateur d’Hutchinson.

Quésaco GradJ ? En d’autres termes, si je un algorithme (un ordre si vous voulez) à une figure quelconque, par exemple « réduis toi de 1/2″ et réitère l’application 12 fois. Et bien j’aurai une figure quelconque qui se réduira au fur et à mesure de manière finie. Mais imaginons que je dises à cette figure « réduis toi de 1/3″ puis place toi au point (0,0) (sous entendu 0 en x et 0 en y dans notre repère cartésien) et « réduis toi encore de 1/3″ mais place toi à (1,0) et réitère ce processus 30 fois. Et bien j’arriverai à un objet qui tendra vers des points (essayer de le visualiser). Et bien cet objet s’appelle l’ensemble de Cantor.

L’idée qui se cache derrière est qu’en utilisant pour n’importe quelle forme de base, mais en y appliquant le même programme (algorithme), on arrive à la même « forme » finale. D’où l’idée d’attracteur. C’est là toute la beauté et toute la puissance de ce système.

Java

Pour vous amuser, voici un programme java. Je vous invite à télécharger le pdf sur les applications affines, que j’ai réalisé pour cet article. Vous devrez donner des valeurs à a,b,c,d qui seront destinées à nos réductions, étirements, cisaillement, rotations,… puis à e et f qui eux feront les translations. Je vous conseil de bien lire le pdf, car lorsque vous devrez composer deux applications entres-elles, vous devrez multiplier deux matrices ensembles. PDF sur les APPLICATIONS AFFINES.

Voici une petit application Java, comment elle fonctionne ?

1. Tout d’abord créer un fichier fractal où vous réunirez les deux fichiers java (dézip) + les textes avec vos différentes transformations.
2. Après ouvrez un fichier texte où vous renoterez le même texte que dans le fichier .txt de base.
3. Pour chaque ligne d’itération, vous devrez introduire en premier les valeurs pour la variable a puis la variable b ainsi de suite jusque f. Même si vos variables sont égales à 0, notez là. (Attention : Java n’aime pas les cos56°, vous devrez noter les valeurs décimales de chaque nombre trigonométrique ainsi que pour chaque racine carrée). 
4. Après avoir calculer chaque transformation, sauvez votre texte avec un nom facile. Comme « Fractal1.txt ». Puis ouvrez le fichier Monfractal.jar puis effacer le « Triangle.txt » pour le remplacer par « Fractal1.txt » puis indiquer le nombre d’itération à côté (2 à 12). (Pour augmenter le nombre d’itération aller dans le fichier .java et remplacer le nombre 12 par le nombre d’itération que vous voulez).
5. Puis voyez , si il y a des problèmes, je vous conseil de voir d’abord le BluePrint (c’est à dire à 2 itérations). Car si vous avez réalisé des erreurs de calculs ou des oublis c’est à ce moment là que tout est plus clair.

Pour télécharger le dossier IFS Fractal avec le programme java :

Cliquer ici

PS : J’y ai incorporé quelques exemples

Voilà un mini article qui décrit comment j’ai installé ma manette Xbox 360 sur mon mac.

Parlons de la manette

Tout d’abord parlons des connecteurs, il vous faudra acheter un cable qui relie votre Xbox360 à votre Mac avec une sortie USB. J’ai acheté ma manette Xbox360 avec ce cable. Mais normalement, il devrait exister des adaptateurs. Concernant les manettes sans fil, je vous avouerais que je n’ai pas trop regardé de ce côté là. Mais à ce que j’ai entendu, les adaptateurs sont assez médiocre, donc si vous n’avez pas de manette Xbox360 ou PS3, achetez des manettes filaires. Je crois que j’avais payé 35 à 40€ pour cette manette, je sais c’est assez coûteux, maintenant vous pouvez acheter une autre manette … ^.^

Xbox Controller

Par la suite, après l’avoir branchée sur votre Mac via USB. Maintenant vous devrez installer un petit driver, Xbox 360 Controller (cliquez ici pour le télécharger) , qui s’inséra dans vos Préférences Systèmes. Puis, lorsque vous voudrez utiliser votre manette, vous devrez à chaque fois aller dans votre Préférence Système puis cliquer sur XBOX 360 Controller pour activer votre manette. Puis après en avant les parties de ouf.

Je reviens de 2 mois de cloisonnement après avoir découvert ça : Snes9x.

Grâce à cet émulateur, vous pourrez rejouer à vos vieux jeux Super Nintendo ^.^, je ne vous dis pas ma joie de rejouer à Street Fighter ou encore à Theme Park (d’ailleurs là je suis entrain de switcher entre les deux écrans ^^). L’idée vient après avoir regarder bons nombres d’épisodes du Joueur Du Grenier. D’ailleurs j’ai essayé Dragon’s Lair sur snes … et … et … et ben … ben j’ai très vite arrêté le jeu, tellement que la difficulté de ce jeux me dépasse =P.

Sinon comme manette, j’avais acheté il y a un petit temps une manette Xbox 360. Je sais je sais … pourquoi une manette Xbox360 ? Bah tout simplement j’aime bien la forme.

Installation + Jeux

Pour installer l’émulateur, rien de plus simple, il suffit de télécharger la version la plus récente par rapport à votre OS. Puis de télécharger via des sites comme http://www.romnation.net vos anciens jeux préférés. Puis après de dézipper votre fichier (parfois vous devrez utiliser 7zx pour désarchiver).

Configurer votre manette

Il suffit pour cela d’aller dans la barre des menus (le Finder sous Mac). Puis de cliquer sur « Config. » puis « Config. Controller ». Là vous aurez plusieurs pannel. Choisissez le joueur #1, puis cliquer sur chacun des composants, et appuyer simultanément sur votre manette. Puis après en avant les histoires.

[photo]

Le Principe ?

Le principe est simple, vous pouvez acheter  mes musiques à n’importe quel prix, allant de 0 à x € =) donc vous pouvez vos procurer mes tites créations gratuitement et oui gratuit en tout légalité.

Rendez-vous sur ma page BandCamp :

http://gradj.bandcamp.com

Donc la suite de l’album suivra =)

Passez tous un excellent week end =)

Retrouvez toutes les autres fiches sur cette page : Japonais 日本語

Cette fiche comporte également un petit vocabulaire, de différents adjectifs se terminant par -i.

Fiche sur les adjectifs se terminant par -i い

Un substantifs est ce que l’on peut qualifier comme un « nom », ce qui représente un concept ou une chose. Mais Japonais, les substantifs n’ont ni genre ni nombre.

Voici une fiche sur les substantifs : Substantifs めいし

Comment dit-on 0,1,2,3 ? Ou encore comment dit-on million, milliard en japonais ?

Fiche : Les nombres 数 かず